Formulation d'un détergent A (Partie II)

La première partie de la présentation a permis de progresser, étape par étape, jusqu'à la construction de la matrice d'expériences, issue d'une méthode proposée par Henry Scheffé en 1958. Un plan de mélanges de type Simplex Lattice Design a suggéré aux expérimentateurs un maillage uniforme dans un domaine expérimental dont la géométrie est un simplexe.  Dans cet exemple, le degré de maillage doit permettre d'estimer la forme canonique du modèle polynomial de degré 4, encore appelé modèle quartique. Rappelons que cette étude de cas permet de revisiter un article publié par J.P. Narcy et J. Renaud en 1972 à propos de la formulation d'un détergent.

La seconde partie de la présentation s'intéresse à l'analyse de la variation des résultats expérimentaux à partir de différents volets restitués sous forme de cinq séquences.

Analyse globale : avant de se précipiter dans les menus d'analyse offerts par les logiciels et de recourir à des méthodes de modélisation, il est primordial de consacrer du temps à une observation préliminaire des valeurs observées. On présente ici l'utilisation des fonctions de répartition d'une part et de la carte de contrôle de l'étendue d'autre part, de telle sorte qu'à partir de graphiques aisément interprétables, on puisse énoncer des hypothèses pour la suite de l'analyse.

Analyse mathématique : il convient de rappeler la méthode de calcul direct et manuelle des coefficients du modèle proposée par Henry Scheffé en 1958, puis complétée par J.W. Gorman et J.E. Hinman en 1962. Par ailleurs une application "plus moderne" de la méthode des moindres carrés est mise en oeuvre de manière à estimer d'une part les coefficients des modèles et d'autre part les résidus : c'est l'objet de l'analyse mathématique.

Analyse statistique : on retrouve dans cette séquence une application particulière d'un chapitre de cours dédié au calcul la qualité descriptive et la qualité prédictive des modèles, que l'on restitue au travers de coefficients appelés R²ajusté et Q². On introduit également une méthode de transformation de la réponse, appelée transformation de Box-Cox. Cette transformation, qui n'avait pas été initialement envisagée par les auteurs de la publication en 1972, est rendue nécessaire pour améliorer la qualité des modèles en prenant en compte l'analyse de la fonction de répartition évoquée précédemment. Une solution alternative est suggérée en imposant des contraintes au domaine expérimental.

Analyse graphique : En présence de trois constituants, il est classique de restituer l'équation du modèle sous forme de courbes iso-réponses. A titre de comparaison, on juxtapose dans cette séquence les courbes proposées par les auteurs sur papier triangulaire, la restitution réalisée aujourd'hui à l'aide d'un logiciel dédié et la construction de ces courbes à l'aide d'un tableur. Complémentairement, la représentation de la trace de la surface de réponse peut être utilisée pour décrire graphiquement la variation d'une réponse autour d'un mélange de référence. Le rapprochement de la trace avec le tableau des valeurs observées permet de confirmer le choix de la transformation retenue à l'étape précédente.

Conclusion : La superposition des courbes iso-réponses permet d'isoler graphiquement un sous-domaine potentiellement intéressant pour l'optimisation du détergent faisant l'objet de l'étude. Un maillage complémentaire autour de l'optimum pressenti permettrait de confirmer les conclusions de cette première approche. On rappelle enfin dans cette conclusion les étapes clés présentées à partir de cette étude de cas.

Ainsi s'achève la présentation de la première étude de cas dans ce blog consacré aux plans d'expériences dédiés aux problèmes de formulation.

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